一般相対性理論 内山龍雄著 の定理9を証明してみた

はじめに

一般相対性理論 内山龍雄著 裳華房を読んでいると、第4章 重力場の方程式 $\S 21.$ Einstein の方程式 において Einstein の方程式を導出する過程で $\S 15.$ 曲率 の 定理9 が重要であることが分かる。しかしこの定理の証明は「読者にまかせよう」となっていて載っていない。

定理9 を引用すると

定理 9. $g_{\mu\nu}$ およびその1階、2階の微係数だけからできている2階対称反変テンソルで、 $g_{\mu\nu}$ の2階微係数については1次式とする。いまこのテンソルを $T^{\mu\nu}$ とするとき、これが恒等式

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu} \equiv 0$$

を満足するならば、それは必ず

$$T^{\mu\nu} = a G^{\mu\nu} + b g^{\mu\nu} \quad (a,b は任意の定数)$$

という形に表される。

$G^{\mu\nu}$ は Einstein の曲率テンソルである。

これを証明無しで「そういう定理が成り立っている」として納得して読んでも、理解にはあまり影響ないかもしれない（まあそういう式はたくさんある）。 しかし結構重要な定理なので個人的に気持ちが悪い。

自力で証明してみる。

証明

証明の方法は本に載っている定理8 と同じ道筋をたどる。

まず Riemann 空間内の1点 $P$ において $P$ を原点とする局所 Lorentz 系を考え、その系を $x$ - 系とする。

したがって $P$ では

$$g_{\mu\nu}(P) = \eta_{\mu\nu},\quad g^{\mu\nu}(P) = \eta^{\mu\nu},\quad \partial_\lambda g_{\mu\nu}(P) = 0$$

である。

$T^{\mu\nu}$ の代わりに 2階対称共変テンソル $T_{\mu\nu}$ を考える。 また $\nabla_\mu T^{\mu\nu} \equiv 0$ の条件については後で考え、ここでは考慮しないでおく。

点Pにおける局所 Lorentz 系において $T_{\mu\nu}$ がどのように表現されるのかを考える。 まず $g_{\mu\nu}$ の1階微分係数は $0$ になるからこの系では考慮しなくて良い。

そうすると $T_{\mu\nu}$ を表わす項としては

1. $g_{\mu\nu}$ の2階微係数である4階共変テンソルに2階反変テンソルをかけ、2階共変テンソルに縮約する項。
2. $g_{\mu\nu}$ の2階微係数である4階共変テンソルに2階反変テンソルを2つかけ、スカラーに縮約しさらに2階共変テンソルをかけた項。
3. スカラー定数に2階共変テンソルをかけた項。

となる。

2., 3. についてはまさしく定理8で示したスカラーに2階共変テンソルをかけた項となる。

定理8（これは本に証明が載っている）を引用すると

定理 8. $g_{\mu\nu}$ およびその1階、2階の微係数だけからできているスカラーで、 2階微係数については1次式とする。このようなスカラーの最も一般なものは

$$S = aR + c\quad(a,cは任意の定数)$$

である。

$R$ はスカラー曲率である。

そこでまず 1. の場合の項のみを考える。

$\mu$ と $\nu$ について対称であることを考慮すると

$$T_{\mu\nu}(P) = \Bigl\{ a (\frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha \partial x^\beta})_P + b (\frac{\partial^2 g_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu \partial x^\nu})_P + c \{(\frac{\partial^2 g_{\alpha\mu}}{\partial x^\beta \partial x^\nu})_P + (\frac{\partial^2 g_{\alpha\nu}}{\partial x^\beta \partial x^\mu})_P\} \Bigr\} \eta^{\alpha\beta}$$

という形になる。 $a,b,c$ は未定の定数である。

ここである座標系への変換 $x \to x'$ を考える。いま $x'$ 系として

$$x^{\mu'} = x^{\mu} + \frac{1}{3!} C^\mu_{\hphantom{\mu}abc}x^a x^b x^c$$

とする。 $C^\mu_{\hphantom{\mu}abc}$ は任意の定数の係数で $a,b,c$ について対称とする。 これは定理8の場合と同じである。

$T_{\mu\nu}$ がテンソルであるためには、この系に変換しても式の形が不変である必要がある。この要請から $a,b,c$ の関係を求めてみる。

原点 P の近くでは $x' \approx 0$ であるから

$$x^{\mu} = x^{\mu'} - \frac{1}{3!} C^\mu_{\hphantom{\mu}abc}x^a x^b x^c + O\{(x')^4\}$$

点 $P\,(x=0,x'=0)$ においては

$$\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\mu'}})_P = \delta^\alpha_{\hphantom{\alpha}\mu}, \quad \frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial x^{\mu'}\partial x^{\nu'}})_P = 0, \quad \frac{\partial^3 x^\alpha} {\partial x^{\lambda'}\partial x^{\mu'}\partial x^{\nu'}})_P = -C^\alpha_{\hphantom{\alpha}\lambda\mu\nu}$$ $$\frac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^\mu})_P = \delta^\alpha_{\hphantom{\alpha}\mu}, \quad \frac{\partial^2 x^{\alpha'}}{\partial x^\mu\partial x^\nu})_P = 0, \quad \frac{\partial^3 x^{\alpha'}} {\partial x^\lambda\partial x^\mu\partial x^\nu})_P = C^\alpha_{\hphantom{\alpha}\lambda\mu\nu}$$

が成り立つ。

よって $x'$ - 系でも

$$g_{\mu\nu}^{\hphantom{\mu\nu}'}(P) = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\nu'}} g_{\alpha\beta}(P) = \delta^\alpha_{\hphantom{\alpha}\mu} \delta^\beta_{\hphantom{\beta}\nu} \eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu\nu}$$ $$\frac{\partial g_{\mu\nu}^{\hphantom{\mu\nu}'}}{\partial x^{\lambda'}})_P = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\lambda'}} \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma})_P = 0$$

となり、これも局所 Lorentz 系の一つである。

一方 $g_{\mu\nu}$ の 2階微分については本の定理8の証明を参考に

$$\begin{align} \frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha \partial x^\beta})_P &= \frac{\partial^2}{\partial x^\alpha \partial x^\beta} \{ \frac{\partial x^{\rho'}}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\nu} g_{\rho\sigma}^{\hphantom{\rho\sigma}'} \}_P \\ &= \frac{\partial^2 g_{\mu\nu}^{\hphantom{\mu\nu}'}} {\partial x^{\alpha'} \partial x^{\beta'}})_P + C_{\mu,\nu\alpha\beta} + C_{\nu,\mu\alpha\beta} \end{align}$$

同様にして

$$\begin{align} \frac{\partial^2 g_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu \partial x^\nu})_P &= \frac{\partial^2}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \{ \frac{\partial x^{\rho'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\beta} g_{\rho\sigma}^{\hphantom{\rho\sigma}'} \}_P \\ &= \frac{\partial^2 g_{\alpha\beta}^{\hphantom{\alpha\beta}'}} {\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}})_P + C_{\alpha,\beta\mu\nu} + C_{\beta,\alpha\mu\nu} \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial^2 g_{\alpha\mu}}{\partial x^\beta \partial x^\nu})_P &= \frac{\partial^2}{\partial x^\beta \partial x^\nu} \{ \frac{\partial x^{\rho'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\mu} g_{\rho\sigma}^{\hphantom{\rho\sigma}'} \}_P \\ &= \frac{\partial^2 g_{\alpha\mu}^{\hphantom{\alpha\mu}'}} {\partial x^{\beta'} \partial x^{\nu'}})_P + C_{\alpha,\mu\beta\nu} + C_{\mu,\alpha\beta\nu} \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial^2 g_{\alpha\nu}}{\partial x^\beta \partial x^\mu})_P &= \frac{\partial^2}{\partial x^\beta \partial x^\mu} \{ \frac{\partial x^{\rho'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\nu} g_{\rho\sigma}^{\hphantom{\rho\sigma}'} \}_P \\ &= \frac{\partial^2 g_{\alpha\nu}^{\hphantom{\alpha\nu}'}} {\partial x^{\beta'} \partial x^{\mu'}})_P + C_{\alpha,\nu\beta\mu} + C_{\nu,\alpha\beta\mu} \end{align}$$

ここまでは定理8と同じである。

これらを用いて $x'$ - 系の量で $T_{\mu\nu}$ をかき表わすと

$$\begin{align} T_{\mu\nu}(P) = T_{\mu\nu}^{\hphantom{\mu\nu}'}(P) + &\{a(C_{\mu,\nu\alpha\beta} + C_{\nu,\mu\alpha\beta}) \\ &+ b(C_{\alpha,\beta\mu\nu} + C_{\beta,\alpha\mu\nu}) \\ &+ c(C_{\alpha,\mu\beta\nu} + C_{\mu,\alpha\beta\nu} + C_{\alpha,\nu\beta\mu} + C_{\nu,\alpha\beta\mu})\}\eta^{\alpha\beta} \end{align}$$

となる。

$\mu$ と $\nu$、$\alpha$ と $\beta$ 、さらに $C^\mu_{\hphantom{\mu}abc}$ の添字 $a,b,c$ がそれぞれ対称であることを用いると前式の右辺の { } の中は

$$\begin{align} 2aC_{\mu,\nu\alpha\beta} + 2bC_{\alpha,\beta\mu\nu} + 2cC_{\alpha,\beta\mu\nu} + 2cC_{\mu,\nu\alpha\beta} &= (2a+2c)C_{\mu,\nu\alpha\beta} \\ &+ (2b+2c)C_{\alpha,\beta\mu\nu} \end{align}$$

となる。

$T_{\mu\nu}$ がテンソルであるためには、この項が $0$ とならなくてはならないから

$$c = -a$$ $$b = a$$

となる。

よって

$$T_{\mu\nu}(P) = a (g_{\mu\nu,\alpha\beta} + g_{\alpha\beta,\mu\nu} - g_{\alpha\mu,\beta\nu} - g_{\alpha\nu,\beta\mu})\eta^{\alpha\beta}$$

が得られる。

一方、本の (15.8)式によると局所 Lorentz 系では曲率テンソルは、添字を適当に修正して

$$R_{\alpha\mu\nu\beta} = \frac{1}{2}(g_{\alpha\beta,\mu\nu} -g_{\mu\beta,\alpha\nu} -g_{\alpha\nu,\mu\beta} +g_{\mu\nu,\alpha\beta})$$

となる。

$T_{\mu\nu}(P)$ の式は $\alpha$ と $\beta$ について対称であるから入れ替えることができる。 さらに微分の順番や $g_{ab}$ の添字も入れ替えられるから、それらを適当に施すと

$$\begin{align} T_{\mu\nu}(P) &= a (g_{\mu\nu,\alpha\beta} + g_{\alpha\beta,\mu\nu} - g_{\mu\beta,\alpha\nu} - g_{\alpha\nu,\mu\beta})\eta^{\alpha\beta} \\ &=2a R_{\alpha\mu\nu\beta} \eta^{\alpha\beta} \\ &=2a R^\beta_{\mu\nu\beta} \\ &=2a R_{\mu\nu} \end{align}$$

となる。 $R_{\mu\nu}$ は本の (15.13)式で定義されている Ricci のテンソルである。

これまでは局所 Lorentz 系で考えてきたが、上式の両辺は共にテンソルであるから、この等式はどんな座標系でも成立する。

ここまでは場合分けの 1. の項を考えてきたが、その他の 2. と 3. の項を考える。 これは定理8で示したスカラー

$$S = bR + c\quad(b,cは任意の定数)$$

に2階共変テンソルをかけた項となる。

よって $T_{\mu\nu}$ の式として

$$T_{\mu\nu} = a R_{\mu\nu} + b g_{\mu\nu} R + c g_{\mu\nu}\quad(a,b,cは任意の定数)$$

の形を考えるとこれも 2階対称共変テンソルである。

ここで $\nabla_\mu T^{\mu\nu} \equiv 0$ の条件について考える。

両辺に $g^{\lambda\mu}$ をかけ、 $\nabla_\lambda$ を作用させると

$$\begin{align} \nabla_\lambda T^\lambda_{\hphantom{\lambda}\nu} &= \nabla_\lambda ( a R^\lambda_{\hphantom{\lambda}\nu} + b g^{\lambda\mu} g_{\mu\nu} R + c g^{\lambda\mu} g_{\mu\nu}) \\ &= \nabla_\lambda ( a R^\lambda_{\hphantom{\lambda}\nu} + b \delta^\lambda_{\hphantom{\lambda}\nu} R) \end{align}$$

となる。

最後の項が消えるのは $\nabla_\lambda g_{\mu\nu} \equiv 0$ による。

この形で共変微分が $0$ になるのは Einstein の曲率テンソルで、本の (15.21)式で定義されている。

$$G^\lambda_{\hphantom{\lambda}\mu} \equiv R^\lambda_{\hphantom{\lambda}\mu} - \frac{1}{2} \delta^\lambda_{\hphantom{\lambda}\mu} R$$ $$\nabla_\lambda G^\lambda_{\hphantom{\lambda}\mu} = 0$$

である。

よって $T_{\mu\nu}$ は

$$T_{\mu\nu} = a G_{\mu\nu} + b g_{\mu\nu}$$

または反変テンソルの形で

$$T^{\mu\nu} = a G^{\mu\nu} + b g^{\mu\nu}$$

となる。